Boîte mail sfr

bonjour, ma mère est chez sfr depuis 2009 pour internet et elle utilise la boîte mail de leur service. Depuis quelques mois la connexion est médiocre (50e par mois c'est honteux je trouve quand on voit les tarifs d'autres opérateurs chez qui internet marche très bien pour moins cher) et j'aimerai la faire changer d'opérateur, seulement ce qui la freine c'est que 6 mois après résiliation ils peuvent bloquer l'adresse mail sans retour arrière (une façon vicieuse d'emprisonner ses clients avec la messagerie) et elle se sert de cette adresse mail pour le travail, le loyer la banque etc.. que des mails important.

J'ai alors pensé à un transfert de mail de sfr à Gmail mais rien ne me garanti que le jour où l'adresse mail sfr est bloqué, plus rien n'arrive sur sa nouvelle boîte mail Gmail.

Avez vous une solution pour faire en sorte que la totalité des mails reçu sur la boîte mail sfr n'arrive plus que sur la boîte Gmail et que le jour où la boîte mail sfr se fasse bloquer cela n'impacte rien sur la boîte mail Gmail (mail qui n'arrive plus par exemple) ?

Et en même temps avez vous une façon simple de faire le transfert de boîte mail (elle pense que tout doit être fait manuellement, c'est à dire envoyez un mail à chaque contact pour prévenir du changement d'adresse mail et demander à  envoyer les mails sur la nouvelle boîte, mais j'ai du mal à croire qu'un transfert de boîte mail soit aussi compliqué que ça) ?

Merci de vos réponses et du temps que vous y prendrez :)